ALGEBRA: Ejercicios del segundo parcial-2024

EJERCICIOS DEL SEGUNDO PARCIAL

Ejercicio 1
Encontrar una base y la dimensión del subespacio solución del sistema
                                   4x + 5y +9z = 0
                                   6x + 5y +  z = 0
                                   3x + 4y +8z = 0
Ejercicio 2
Una empresa fabrica dos productos. Para la elaboración de cada unidad de producto se requieren las cantidades de materia prima en kg que indica la siguiente tabla:
                          Materia Prima 1         Materia Prima 2
Producto 1              2 kg/u                              4 kg/u
Producto 2              3 kg/u                              2 kg/u
Los costos de fabricación de cada unidad de producto son de 28 pesos para el producto I y de 22
pesos para el producto II y están expresados por una matriz C de 2x1. Hallar una matriz X de 2x1 que represente los costos correspondientes a cada kg de materia prima.               
Ejercicio 3 
La ecuación del plano balance correspondiente a un consumidor que tiene un ingreso de $3.000 y lo destina en su totalidad a la compra de tres bienes, es x/100 + y/200 + z/300 = 1.
a) Hallar el vector de precios.
b) Hallar una ecuación vectorial de la recta perpendicular al plano, que pasa por el punto P= (-2, 3, 1)
Ejercicio 5
Una pequeña empresa de productos químicos utiliza tres materias primas (MP1, MP2 y MP3) para elaborar un aditivo para combustible (A) y una base para solvente (B). El aditivo A se vende a las compañías petroleras y se utiliza para la producción de gasolina y otros combustibles. La base para solvente B, se vende a compañías que fabrican productos químicos de limpieza para el hogar. Una tonelada de aditivo para combustible A, es una mezcla de 0,4 ton de MP1 y 0,6 ton de MP3, mientras que una tonelada de aditivo para solvente B, se obtiene mezclando 0,5 ton de de MP1, 0,2 ton de MP2 y 0,3 ton de MP3.
La disponibilidad de las tres materias primas para el período que se planifica es: 20 ton de MP1, 5 ton de MP2 y 21 ton de MP3. Los productos generan una contribución a las utilidades de $40 por cada ton de aditivo para combustible producido y $30 por cada ton producida de base para solvente.
a) Determinar gráficamente la cantidad de toneladas de aditivo A y base B, que la empresa debe producir para maximizar la utilidad total.
b) Calcular la utilidad máxima.
c) Resolverlo usando el método simplex.
Ejercicio 6
Determinar si el conjunto dado de vectores es una base del espacio R3. En caso de no serlo, hallar el subespacio que genera:
a) B1={(1, 0, 2) ; (2, 1, 0) ; (3, 1, 2)}
b) B2={(1, 0, 0) ; (1, -1, 0) ; (2, 1, 2)}
Ejercicio 7
Demuestre la siguiente proposición: "Si {u, v} es un conjunto linealmente independiente, entonces {u+v, u-v} es linealmente independiente"
Ejercicio 8
Encuentre una base en R3 para el conjunto de vectores del plano 3x-2y-6z=0.

RESPUESTAS
1) B={(4,-5,1)} Dim=1
2) X= trasp (4   5)
3) a) P=(30, 15, 10) b) L: X= t.(30, 15, 10)+(-2, 3, 1), t número real
5) Max f(x,y)=40x+30y sujeto a  0,4x+0,5y<=20; 0,2y<=5; 0,6x+0,3y<=21.
La utilidad máxima es $1600 si se producen 25 toneladas del producto A y 20 toneladas del producto B.
6)a) Es un conjunto de vectores l.d. No son base de R3. Genera el subespacio
S={(x, y, z)/ z.(-1,-1,1), z en R}
b) Es un conjunto de 3 vectores l.i. en R3, son base del espacio R3.
7) 0= a(u+v) + b (u-v)=(a+b)u+(a-b)v. Como {u, v} son l.i., entonces los coeficientes de toda combinación lineal igualada a cero, son cero: a+b=0 y a-b=0. De esto se deduce que b=a, entonces 2a=0, a=b=0. El conjunto {u+v, u-v} es l.i.
8) B={(1, 3/2, 0);(0,-3,1)}