ALGEBRA: Ejercicios de repaso Práctica 4

Ejercicios de repaso Práctica 4

Ejercicio 1. Hallar el número real k para que el conjunto C={(1, 0, 2); (-1, 4, k); (-1, 1, 0)} NO sea una base de R3. Para el valor de k obtenido, hallar el subespacio generado, una base y su dimensión.

Ejercicio 2. a) Determinar si el conjunto B={(1, -3, 0); (3, 0, 4); (11, -6, 12)} forma una base de R3.
b) Si B no es una base de R3, hallar el subespacio generado, una base y su dimensión.

Ejercicio 3. Justificar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) El conjunto de soluciones de un sistema lineal de 2x2 compatible determinado, es un subespacio de R2; b) Si {u, v} es linealmente independiente, entonces {u+v, u-v} es linealmente independiente.

Ejercicio 4. Responder Verdadero o Falso. Justificar.
a) Si {u, w} es l.i. y {w, z} es l.i., entonces {u, z} es l.i.
b) El subespacio S={(x, y, z, w)/ x=2y} es de dimensión 2.

Ejercicio 5. Determinar si el conjunto de vectores {u, v, w} es linealmente independiente o  linealmente dependiente siendo u= (1, -3, 0); v= (3, 0, 4); w= (11, -6, 12).
A partir de lo que determine acerca del conjunto de vectores:
i) Si son l.i., escribir el vector (1, 5, 8) como combinación lineal de los mismos.
ii) Si son l.d., escribir w como combinación lineal de u y v.

Ejercicio 6. La ecuación del plano balance que contiene todos los presupuestos que tienen un gasto de $5.000 para la adquisición de tres bienes, es (x/100) + (y/200) + (z/500) = 1.
a)Hallar el vector de precios; b) Calcular los valores reales de t para los cuales t.(4, 6, 15) es una posibilidad de consumo.

Respuestas:
1) k = 6; S={(x, y, z)/ z = 2x+2y, con x,y en R}; una base de S es B={(1, 0, 2);(0, 1, 2)}; dim(S)=2.
2) a) B no es base de R3;
    b) S={(x, y, z) / y = -3x+(9/4)z }; una base de S es C={(1, -3, 0);(0, 9/4, 1)}; dim(S)=2;
3) a) Es Falso (dar un contraejemplo); b) Es Verdadero (demostrarlo);
4) a) Es Falso (dar un contraejemplo); b) Es Falso, dim(S)=3.
5) Los vectores son l.d. Se puede escribir w=2u+3v.
6) a) p=(50, 25, 10) ; b) t=10.