Ejercicio 1: Sean los puntos A=(-1, 3, -2) y B=(2, -2, 1)
a) Hallar una ecuación vectorial de la recta L que pasa por los puntos A y B.
b) Indicar si el punto P=(-3, 1, 8) pertenece a la recta L.
Ejercicio 2: Demuestre que si {u, v} es un conjunto de vectores linealmente independiente, entonces el conjunto de vectores {u+v, u-v} es linealmente independiente.
Ejercicio 3: Encontrar una base y la dimensión del subespacio solución del sistema:
3x+5y+6z = 0
x -2y + z = 0
5x + y+8z = 0
Ejercicio 4: Una empresa alimenticia fabrica dos productos, A y B. Para la elaboración de cada unidad de producto, se requieren las siguientes cantidades de materias primas (I y II en kg):
Materia prima I Materia prima II
Producto A 2kg/u 3kg/u
Producto B 4kg/u 2kg/u
Los costos de fabricación de cada unidad de producto son: $44 para el producto A y $56 para el producto B. Aplicar cálculo matricial para obtener el costo del kg de cada una de las materias primas.
Ejercicio 5: Supongamos que la misma empresa alimenticia fabrica otros 2 productos C y D. Cada unidad de producto C requiere: 9 hs. de fabricación, $8 de inversión y 4 unidades de materia prima. Cada producto D requiere: 5 hs. de fabricación, $11 de inversión y 3 unidades de materia prima. Se dispone de 450 hs. de fabricación, $880 de inversión y 120 unidades de materia prima. Si se gana $6 y $4 por cada unidad de producto C y D, respectivamente, responder:
b) ¿Qué recursos podrían disminuirse y cuánto? ¿Cuáles son los recursos saturados? ¿Por qué? ¿Es única la solución del problema?
1. a) L: (x, y, z) = t.(3, -5, 3)+(-1, 3, -2); b) No pertenece.
2. Planteamos una combinación lineal de los vectores (u+v) y (u-v), igualada a cero:
0 = a.(u+v) + b.(u-v) = a.u + a.v + b.u - b.v = (a+b).u + (a-b).v
La última igualdad implica que los coeficientes son nulos: (a+b) = 0 y (a-b) = 0 (porque es dato que los vectores u y v son linealmente independientes). La ecuación a-b=0 implica a=b y la ecuación a+b=0 implica a+a=2.a=0. Entonces a=0 y b=0. Luego, (u+v) y (u-v) son linealmente independientes.
3. El subespacio S solución del sistema, es una recta de R^3 (dim(S)=1).
Una base de S es B={(-17, -3, 11)}.
4. 10$ es el costo correspondiente a cada kg de la materia prima I y 8$ el de la materia prima II.
5. Se obtiene la ganancia máxima (180$) fabricando 30 unidades del producto C y ninguna del producto D. Podrían disminuirse las horas de fabricación a 270 (el recurso disminuye 180 hs) y la inversión a $240 (el recurso disminuye $640). La materia prima es un recurso saturado (porque cada unidad de producto C requiere 4 unidades de materia prima, entonces con 30 unidades de producto C, se saturan las 120 unidades disponibles). La solución del problema es única.
4. 10$ es el costo correspondiente a cada kg de la materia prima I y 8$ el de la materia prima II.
5. Se obtiene la ganancia máxima (180$) fabricando 30 unidades del producto C y ninguna del producto D. Podrían disminuirse las horas de fabricación a 270 (el recurso disminuye 180 hs) y la inversión a $240 (el recurso disminuye $640). La materia prima es un recurso saturado (porque cada unidad de producto C requiere 4 unidades de materia prima, entonces con 30 unidades de producto C, se saturan las 120 unidades disponibles). La solución del problema es única.
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